Wir wollen das Verhältnis der Fläche eines Quadrats zu der Fläche seines Umkreises berechnen.
- Die Fläche des Quadrats ergibt sich mit der Formel:
- A_quadrat = s²
- wobei s die Seitenlänge des Quadrats ist.
- Der Umkreis des Quadrats ist ein Kreis, der das Quadrat vollständig umschließt. Sein Durchmesser entspricht der Diagonale des Quadrats, die mit der bekannten Formel berechnet wird:
- d = s√2
- Daraus ergibt sich der Radius des Kreises:
- r = d / 2 = (s√2) / 2
- Nun berechnen wir die Fläche des Kreises mit der Formel A_kreis = πr² und setzen die Werte ein, um das Verhältnis zu bestimmen.
Jetzt geht’s an die Rechnung!
Wir wollen das Verhältnis der Fläche eines Quadrats zu der Fläche seines Umkreises berechnen.
- Die Fläche des Quadrats ergibt sich mit der Formel:
- A_quadrat = s²
- wobei s die Seitenlänge des Quadrats ist.
- Der Umkreis des Quadrats ist ein Kreis, der das Quadrat vollständig umschließt. Sein Durchmesser entspricht der Diagonale des Quadrats, die mit der bekannten Formel berechnet wird:
- d = s√2
- Daraus ergibt sich der Radius des Kreises:
- r = d / 2 = (s√2) / 2
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Die Fläche des Quadrats beträgt:
$ A_{\text{Quadrat}} = s^2 $
Der Umkreis ist ein Kreis mit Durchmesser gleich der Diagonale des Quadrats:
$ d = s\sqrt{2} $
Daher ist der Radius des Kreises:
$ r = \frac{s\sqrt{2}}{2} $
Die Fläche des Kreises ist dann:
$ A_{\text{Kreis}} = \pi r^2 = \pi \left(\frac{s\sqrt{2}}{2}\right)^2 $
Berechnung:
$ A_{\text{Kreis}} = \pi \cdot \frac{s^2 \cdot 2}{4} = \pi \cdot \frac{s^2}{2} $
$ A_{\text{Kreis}} = \frac{\pi s^2}{2} $
Das gesuchte Verhältnis ist:
$ \frac{A_{\text{Quadrat}}}{A_{\text{Kreis}}} = \frac{s^2}{\frac{\pi s^2}{2}} $
$ = \frac{s^2 \cdot 2}{\pi s^2} = \frac{2}{\pi} $
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m001090
Merke dir, dass die Diagonale eines Quadrats immer s√2 beträgt!
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