Um das Wievielfache sich die Dichte eines Schaumstoffwürfels ändert, wenn er auf die Hälfte seiner Kantenlänge komprimiert wird, müssen wir zuerst die ursprüngliche Dichte des Würfels berechnen und dann die Dichte des komprimierten Würfels. Die Dichte $\rho$ ist definiert als Masse $m$ geteilt durch Volumen $V$, also $\rho = \frac{m}{V}$. Wenn wir die Kantenlänge eines Würfels halbieren, verringert sich sein Volumen auf $\frac{1}{8}$ des ursprünglichen Volumens (weil das Volumen eines Würfels dem Kubik der Kantenlänge entspricht: $V = a^3$). Da die Masse des Würfels gleich bleibt, müssen wir berechnen, wie sich das Verhältnis der Dichten $\frac{\rho_{neu}}{\rho_{alt}}$ verändert.
Um das Wievielfache sich die Dichte eines Schaumstoffwürfels ändert, wenn er auf die Hälfte seiner Kantenlänge komprimiert wird, müssen wir zuerst die ursprüngliche Dichte des Würfels berechnen und dann die Dichte des komprimierten Würfels. Die Dichte $\rho$ ist definiert als Masse $m$ geteilt durch Volumen $V$, also $\rho = \frac{m}{V}$. Wenn wir die Kantenlänge eines Würfels halbieren, verringert sich sein Volumen auf $\frac{1}{8}$ des ursprünglichen Volumens (weil das Volumen eines Würfels dem Kubik der Kantenlänge entspricht: $V = a^3$). Da die Masse des Würfels gleich bleibt, müssen wir berechnen, wie sich das Verhältnis der Dichten $\frac{\rho_{neu}}{\rho_{alt}}$ verändert.
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- Berechnung der ursprünglichen Dichte: Mit einer Masse von 6 kg und einem Volumen von 15 l (15 l = 15 dm³ = 0,015 m³, da 1l = 1 dm³ und 1000 l = 1 m³) ist die ursprüngliche Dichte $\rho_{alt} = \frac{6, \text{kg}}{0,015, \text{m}^3} = 400, \text{kg/m}^3$.
- Berechnung des neuen Volumens: Das neue Volumen ist ein Achtel des ursprünglichen Volumens, also $V_{neu} = \frac{15}{8}, \text{l} = 1,875, \text{l} = 0,001875, \text{m}^3$.
- Berechnung der neuen Dichte: Da die Masse gleich bleibt, ist die neue Dichte $\rho_{neu} = \frac{6, \text{kg}}{0,001875, \text{m}^3} = 3200, \text{kg/m}^3$.
- Verhältnis der Dichten: Das Verhältnis der neuen Dichte zur alten Dichte ist $\frac{\rho_{neu}}{\rho_{alt}} = \frac{3200}{400} = 8$.
Die Dichte des Schaumstoffwürfels ändert sich auf das Achtfache des ursprünglichen Werts, wenn er allseitig so komprimiert wird, dass ein Würfel mit halber Kantenlänge entsteht
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P0090
Um bei solchen Aufgaben schnell zum Ziel zu kommen, merke dir das Prinzip, dass sich das Volumen eines Würfels mit der dritten Potenz der Kantenlängenänderung skaliert. Eine Halbierung der Kantenlänge führt also zu einem Volumen, das um den Faktor $2^3 = 8$ kleiner ist.
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