Wahrscheinlichkeit für jeden Test verstehen
Der erste Test hat eine Erkennungsrate von 90 % (9 von 10 Fällen), was bedeutet, dass die Wahrscheinlichkeit, dass dieser Test die Erkrankung erkennt, 0,9 beträgt. Der zweite Test hat eine Erkennungsrate von 80 %, also eine Wahrscheinlichkeit von 0,8, dass er die Erkrankung erkennt.
Wahrscheinlichkeit berechnen, dass beide Tests versagen
Um die Wahrscheinlichkeit zu berechnen, dass mindestens ein Test positiv ist, ist es oft einfacher, zunächst das Gegenteil zu berechnen – also die Wahrscheinlichkeit, dass beide Tests versagen (also negativ sind) – und dann 1 minus diese Wahrscheinlichkeit zu nehmen.
Wahrscheinlichkeit für jeden Test verstehen
Der erste Test hat eine Erkennungsrate von 90 % (9 von 10 Fällen), was bedeutet, dass die Wahrscheinlichkeit, dass dieser Test die Erkrankung erkennt, 0,9 beträgt. Der zweite Test hat eine Erkennungsrate von 80 %, also eine Wahrscheinlichkeit von 0,8, dass er die Erkrankung erkennt.
Wahrscheinlichkeit berechnen, dass beide Tests versagen
Um die Wahrscheinlichkeit zu berechnen, dass mindestens ein Test positiv ist, ist es oft einfacher, zunächst das Gegenteil zu berechnen – also die Wahrscheinlichkeit, dass beide Tests versagen (also negativ sind) – und dann 1 minus diese Wahrscheinlichkeit zu nehmen.
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Die Wahrscheinlichkeit, dass der erste Test versagt, ist 1 - 0,9 = 0,1, und die Wahrscheinlichkeit, dass der zweite Test versagt, ist 1 - 0,8 = 0,2.
Da die Tests unabhängig voneinander sind, können wir die Wahrscheinlichkeiten ihres Versagens multiplizieren, um die Gesamtwahrscheinlichkeit zu erhalten, dass beide Tests versagen:
P(Beide versagen) = P(Test 1 versagt) × P(Test 2 versagt) = 0,1 × 0,2 = 0,02
Gesamtwahrscheinlichkeit berechnen, dass mindestens ein Test positiv ist:
Nun berechnen wir die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens ein Test positiv ist, indem wir 1 minus die Wahrscheinlichkeit nehmen, dass beide Tests versagen:
P(Mindestens ein positiv) = 1 − P(Beide versagen) = 1 − 0,02 = 0,98
Das bedeutet, die Gesamtwahrscheinlichkeit, dass mindestens ein Test bei einer erkrankten Person ein positives Ergebnis zeigt, beträgt 98 %.
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M00695
Ein hilfreicher Tipp beim Umgang mit Wahrscheinlichkeiten, insbesondere wenn es um das Ereignis "mindestens einmal" geht, ist die Nutzung der Gegenwahrscheinlichkeit. Anstatt direkt die Wahrscheinlichkeit zu berechnen, dass ein Ereignis mindestens einmal eintritt, kann es einfacher sein, die Wahrscheinlichkeit zu bestimmen, dass das Ereignis überhaupt nicht eintritt, und dann diese von 1 abzuziehen. Dieser Ansatz vereinfacht oft die Berechnungen und hilft, Fehler zu vermeiden, besonders in Szenarien mit mehreren unabhängigen Ereignissen oder Versuchen.
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