Um die Wahrscheinlichkeit zu berechnen, dass mindestens zwei von fünf Studierenden im selben Monat Geburtstag haben, gehen wir indirekt vor. Es ist oft einfacher, zuerst die Gegenwahrscheinlichkeit zu berechnen, also die Wahrscheinlichkeit, dass alle fünf Studierenden in unterschiedlichen Monaten Geburtstag haben. Danach subtrahieren wir diesen Wert von 1, um die gesuchte Wahrscheinlichkeit zu erhalten.
Um die Wahrscheinlichkeit zu berechnen, dass mindestens zwei von fünf Studierenden im selben Monat Geburtstag haben, gehen wir indirekt vor. Es ist oft einfacher, zuerst die Gegenwahrscheinlichkeit zu berechnen, also die Wahrscheinlichkeit, dass alle fünf Studierenden in unterschiedlichen Monaten Geburtstag haben. Danach subtrahieren wir diesen Wert von 1, um die gesuchte Wahrscheinlichkeit zu erhalten.
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Es gibt 12 Monate im Jahr, und für den ersten Studierenden gibt es keine Einschränkung, in welchem Monat er Geburtstag hat, also ist die Wahrscheinlichkeit 12/12. Für den zweiten Studierenden müssen wir einen anderen Monat wählen, also ist die Wahrscheinlichkeit 11/12, dass er in einem anderen Monat Geburtstag hat als der erste Studierende. Dieses Muster setzt sich fort, bis zum fünften Studierenden.
Die Wahrscheinlichkeit, dass alle fünf Studierenden in unterschiedlichen Monaten Geburtstag haben, ist also:
$(12/12)×(11/12)×(10/12)×(9/12)×(8/12)$
Berechnen wir das:
$1 \times (11/12) \times (5/6) \times (3/4) \times (2/3) = (11 \times 5 \times 3 \times 2) / (12 \times 6 \times 4 \times 3) = 330 / 864 = 0.3819$
Um die Wahrscheinlichkeit zu finden, dass mindestens zwei Studierende im selben Monat Geburtstag haben, subtrahieren wir dieses Ergebnis von 1:
$1 - 0.3819 = 0.6181$
Die Wahrscheinlichkeit beträgt also ungefähr 61.81 %, was aufgerundet 62 % entspricht.
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M00591
Ein guter Tipp für Probleme dieser Art ist, immer über die Gegenwahrscheinlichkeit nachzudenken, besonders wenn es darum geht, "mindestens einen" Fall zu berechnen. Dieser Ansatz kann oft zu einer einfacheren Lösung führen. Merke dir das Geburtstagsproblem als ein klassisches Beispiel in der Wahrscheinlichkeitsrechnung
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