Zuerst stellen wir fest, dass die Querschnittsfläche einer optischen Blende, wenn sie kreisförmig ist, mit der Formel für die Fläche eines Kreises berechnet wird: $A = πr^2$, wobei $r$ der Radius des Kreises ist. Da der Durchmesser $d = 2r$ ist, können wir auch sagen, dass $A = \frac{πd^2}{4}$. Wir wissen, dass die neue Fläche ein Viertel der ursprünglichen sein soll. Wir müssen also herausfinden, um wie viel Prozent der Durchmesser sinken muss, um dieses Ziel zu erreichen.
Zuerst stellen wir fest, dass die Querschnittsfläche einer optischen Blende, wenn sie kreisförmig ist, mit der Formel für die Fläche eines Kreises berechnet wird: $A = πr^2$, wobei $r$ der Radius des Kreises ist. Da der Durchmesser $d = 2r$ ist, können wir auch sagen, dass $A = \frac{πd^2}{4}$. Wir wissen, dass die neue Fläche ein Viertel der ursprünglichen sein soll. Wir müssen also herausfinden, um wie viel Prozent der Durchmesser sinken muss, um dieses Ziel zu erreichen.
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Lassen Sie uns die Veränderung in der Fläche in Bezug auf den Durchmesser ausdrücken. Wenn die ursprüngliche Fläche $A$ ist, dann ist die neue Fläche $\frac{1}{4}A$.
Die ursprüngliche Fläche ist:
$A_1 = \frac{πd_1^2}{4}$
Die neue Fläche ist ein Viertel davon:
$A_2 = \frac{1}{4}A_1 = \frac{1}{4} \cdot \frac{πd_1^2}{4} = \frac{πd_1^2}{16}$
Setzen wir die Fläche $A_2$ gleich einer Kreisfläche mit einem neuen Durchmesser $d_2$:
$\frac{πd_2^2}{4} = \frac{πd_1^2}{16}$
Durch Kürzen von $π$ und Umstellen erhalten wir:
$d_2^2 = \frac{d_1^2}{4}$
Nehmen wir die Quadratwurzel beider Seiten:
$d_2 = \frac{d_1}{2}$
Das bedeutet, der neue Durchmesser ist halb so groß wie der ursprüngliche Durchmesser. Die prozentuale Abnahme des Durchmessers ist also 50%.
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M00174
Bei solchen Aufgaben hilft es, sich klarzumachen, dass Flächen- und Volumenveränderungen nicht direkt proportional zu den Veränderungen der Längenmaße sind. Ein guter Trick ist, sich zuerst zu überlegen, wie die Veränderung in einer Dimension die Gesamtfläche oder das Volumen beeinflusst.
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