Wir wissen, dass die Pupillenweite die Fläche bestimmt, durch die Licht auf die Netzhaut trifft. Eine Veränderung der Pupillenweite wirkt sich also auf die Fläche aus, durch die das Licht in das Auge eindringen kann, und somit auch auf den Lichtstrom. Die Fläche eines Kreises (und die Pupille kann für diese Überlegung als kreisförmig angenommen werden) berechnet sich mit der Formel $A = πr^2$, wobei r der Radius des Kreises ist. Eine Veränderung der Pupillenweite bedeutet eine Veränderung des Radius, was sich quadratisch auf die Fläche auswirkt.
Wir wissen, dass die Pupillenweite die Fläche bestimmt, durch die Licht auf die Netzhaut trifft. Eine Veränderung der Pupillenweite wirkt sich also auf die Fläche aus, durch die das Licht in das Auge eindringen kann, und somit auch auf den Lichtstrom. Die Fläche eines Kreises (und die Pupille kann für diese Überlegung als kreisförmig angenommen werden) berechnet sich mit der Formel $A = πr^2$, wobei r der Radius des Kreises ist. Eine Veränderung der Pupillenweite bedeutet eine Veränderung des Radius, was sich quadratisch auf die Fläche auswirkt.
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Um die prozentuale Abnahme des Lichtstroms zu berechnen, der auf die Netzhaut trifft, wenn die Pupillenweite um 20% abnimmt, können wir folgendermaßen vorgehen:
Annahme: Der Radius der Pupille verringert sich um 20%. Das bedeutet, der neue Radius ist 80% des ursprünglichen Radius, also:
\[
r_{\text{neu}} = 0{,}8 \cdot r_{\text{alt}}
\]
Die Fläche vor der Veränderung ist:
\[
A_{\text{alt}} = \pi r_{\text{alt}}^2
\]
Die Fläche nach der Veränderung ist:
\[
A_{\text{neu}} = \pi (0{,}8 \cdot r_{\text{alt}})^2 = \pi \cdot 0{,}64 \cdot r_{\text{alt}}^2
\]
Der prozentuale Unterschied in der Fläche (und somit im Lichtstrom, da diese proportional zueinander sind) ist dann $1 − 0,64 × 100% = 36%$.
Die korrekte Antwort auf die Frage, um wie viel Prozent der Lichtstrom sinkt, wenn die Pupillenweite um 20% abnimmt, ist also 36%.
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M00119
Bei der Bearbeitung von Aufgaben dieser Art ist es wichtig, sich daran zu erinnern, dass eine prozentuale Änderung des Radius eines Kreises quadratisch auf dessen Fläche wirkt.
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